环 、体及其他本身即为此物件的抽象系统中。此为抽象代数的领域 。在此有一个很重要的概念
，即向量，且广义化至向量空间 ，并研究于线性代数中
。向量的研究结合了数学的三个基本领域：数量
、结构及空间。向量分析则将其扩展至第四个基本的领域内
，即变化 。

　空间

　空间的研究源自于欧式几何。三角学则结合了空间及数，且包含有非常著名的勾股定理
。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几何及拓扑学。数和空间在解析几何 、微分几何和代数几何中都有着很重要的角色 。在微分几何中有着纤维丛及流形上的计算等概念
。在代数几何中有着如多项式方程的解集等几何对象的描述 ，结合了数和空间的概念;亦有着拓扑群的研究
，结合了结构与空间。李群被用来研究空间
、结构及变化 。

　基础

　为了搞清楚数学基础，数学逻辑和集合论等领域被发展了出来
。德国数学家康托尔(1845-1918)首创集合论 ，大胆地向?无穷大?进军
，为的是给数学各分支提供一个坚实的基础，而它本身的内容也是相当丰富的 ，提出了实无穷的思想，为以后的数学发展作出了不可估量的贡献。

　集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支
，成为了分析理论，测度论 ，拓扑学及数理科学中必不可少的工具 。20世纪初
，数学家希尔伯特在德国传播了康托尔的思想，把集合论称为?数学家的乐园?和?数学思想最惊人的